MM507: Differentialligninger

Fælles undervisning med første halvdel af MM547 Ordinære differentialligninger: Teori, modellering og beregning.

Kurset kan ikke følges af studerende, der har bestået MM547.

Studerende, der følger kurset, forventes at:

• Har viden om, hvordan man implementerer algoritmer som computerprogrammer og beregner numeriske tilnærmelser til matematiske problemer, der ikke tillader en lukket formløsning.
• Være bekendt med: systemer af lineære ligninger, matricer, determinanter, polynomier, funktionsbegrebet, reelle og komplekse tal, differentiering og integration af funktioner af en og flere variable, vektor calculus.

Formålet med kurset er at introducere modelleringsproblemer fra natur- og ingeniørvidenskab ved ordinære differentialligninger, samt at analysere og løse disse ligninger.
Kurset bygger videre på den viden erhvervet i kurserne MM536 (Calculus for Matematik), og i nogen grad MM533 (Matematisk og numerisk analyse) og linær algebradelen af MM538 (algebra og lineær algebra). Kurset giver en introduktion til behandling af ordinære differential-ligninger og dermed et fagligt grundlag for øvrige valgfrie kurser omhandlende differentialligninger såsom MM531 differentialligninger II, MM8AA Beregningsmæssig fysik og løsning af partielle differentialligninger.

Kurset er af høj tværfaglig værdi og giver et videnskabeligt grundlag for et bachelorprojekt på flere centrale områder af naturvidenskab.
I forhold til uddannelsens kompetenceprofil har kurset eksplicit fokus på at:

• Give kompetence til at håndtere komplekse og udviklingsorienterede situationer i studie- og arbejdssammenhænge.
• Give færdigheder i:
1. at anvende tankegange og fagudtryk fra fagets grundlæggende discipliner.
2. at analysere og vurdere teoretiske og praktiske problemer med henblik på anvendelse af en egnet matematisk model
• Give viden om:
1. matematikkens grundlæggende vidensdannelse, teori og metoder.
2. at kunne foretage analyser ved brug af matematiske metoder og forholde sig kritisk til videnskabelige teorier og modeller.

For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:

1. formulere en differentialligning som model for et simpelt problem.
2. løse differentialligninger ved teknikker undervist i kurset.
3. finde stationære løsninger og analysere asymptotisk opførsel af simple systemer af differentialligninger.
4. anvende disse resultater på eksempler.
5. formulere  og præsentere definitioner, beviser og udregninger på en matematisk stringent måde.

Kurset indeholder følgende faglige hovedområder:

1.1 Første ordens differentialligninger og matematiske modeller.
1.2 Retningsfelter og begyndelsesværdi problemer.
1.3 Eulers metode.
1.4 Eksistens og entydighed, Picard-Lindelöf sætning (som anvendelse affikspunktsætningen).
1.5 Gronwalls Lemma og konvergens af Eulers metode.´
1.6 Analytiske redskaber: integrations faktorer, separation af variable, og eksakte ligninger.

2.1 Systemer af første ordens differentialligninger, og højere ordens lineære ligninger: fundamentale løsninger, løsnings rum.
2.2 Wronski determinanten, Abels sætning.´
2.3 Analytiske redskaber: ubestemte koefficienter og parametervariation.

For at sætte de studerende i stand til at nå læringsmålene for kurset tilrettelægges undervisningen således, at der er 42 forelæsningstimer, holdtimer etc. på et semester.
Disse undervisningsaktiviteter udmønter sig i en anslået vejledende fordeling af arbejdsindsatsen hos en gennemsnitsstuderende på følgende måde:

• Introfase (forelæsning, holdtimer) - 28 timer
• Træningsfase: 14 timer

Activities during the study phase:

• preparation of exercises in study groups
• preparation of projects
• contributing to online learning activities related to the course